دفاعیه دکتری در دانشکده ریاضی

  آقای اسماعیل نجفی، دانشجوی دوره دکتری دانشکده ریاضی، اسفندماه سال 90، از رساله خود با عنوان «حل عددی معادلات انتگرال و انتگرال- دیفرانسیل ولترای غیر خطی با استفاده از روش شبه خطی‌سازی» دفاع نمود.

  چکیده این رساله که راهنمایی آن را دکتر خسرو مالک نژاد بر عهده داشتند، به شرح زیر می‌باشد.

  در فیزیک و علوم مهندسی، وقتی پدیده‌ها مدل‌سازی می‌شوند و سعی می‌شود رفتار آنها در قالب معادلات ریاضی بیان شوند، مسائل غیرخطی به طور گسترده‌ای مشاهده می‌شوند. حل مسائل غیرخطی و بدست آوردن جوابی برای آنها، قدم بعدی است که برای بیان رفتار پدیده باید انجام گیرد. اما همان طور که می‌دانیم بسیاری از مسائل غیرخطی به صورت تحلیلی قابل حل نیستند و یا جواب آنها را به صورت ترکیبی از توابع مقدماتی نمی‌توان بدست آورد. این مشکل باعث مطرح شدن روشهای عددی برای حل معادلات می‌شود. روش شبه‌خطی‌سازی از روشهایی است که برای حل مسائل غیرخطی استفاده می‌شود. از این روش به عنوان تعمیم روش نیوتن-رفسون به فضای توابع هم می‌توان نام برد. روش شبه‌خطی‌سازی وقتی برای معادلات غیرخطی بکار گرفته می‌شود، با تبدیل حل معادله غیرخطی به حل یک دنباله از معادلات خطی، دنباله توابعی تولید می‌کند که به طور یکنوا و با همگرایی مرتبه دوم به جواب معادله غیرخطی، همگرا می‌شوند. در این رساله با استفاده از روش شبه‌خطی‌سازی، حل عددی معادلات انتگرال و انتگرال-دیفرانسیل ولترای غیرخطی مورد بررسی قرار گرفته است. جواب معادلات انتگرال و انتگرال-دیفرانسیل خطی بوجود آمده با استفاده از روش هم‌محلی در فضای چندجمله‌ای‌ها تقریب زده می‌شوند. یک تحلیل خطا و همگرایی برای حل عددی معادلات انتگرال ولترای خطی نیز در فصل دوم آورده شده است که از آن در تقریب جواب معادلات غیرخطی استفاده می‌شود. کارآیی و دقت روش ذکر شده به همگرایی مرتبه دوم و یکنوایی دنباله‌های تولید شده برمی‌گردد و این خصوصیات در مثال‌های عددی که در هر مورد حل شده‌اند و مقایسه‌ای که با دیگر روشها صورت گرفته، نشان داده شده است.